设∑为下半球面z=-a2−x2−y2的上侧，Ω是由∑和z=0所围空间区域，∬zdxdy≠（）A．∫2π0dθ∫a0ρa2−ρ2dρB．∭Ω-dvC．-∫2π0dθ∫a0ρa2−ρ2dρD．∬（x+y+z）dxdy

Question

设∑为下半球面z=-√(a2−x2−y2)的上侧，Ω是由∑和z=0所围空间区域，

∬

zdxdy≠（　　）

A．

∫

2π 0

dθ

∫

a 0

ρ√(a2−ρ2)dρ
B．

∭

Ω

-dv
C．-

∫

2π 0

dθ

∫

a 0

ρ√(a2−ρ2)dρ
D．

∬

（x+y+z）dxdy

Answer 1

设∑在xoy面的投影为D，则D={（ρ，θ）|0≤θ≤2π，0≤ρ≤a}
∵∑为下半球面z=-√(a2−x2−y2)的上侧，
∴

∫∫

zdxdy＝−

∫∫

D

√(a2−x2−y2)dxdy
=-

∫

2π 0

dθ

∫

a 0

ρ√(a2−ρ2)dρ
故C正确，A错误．
Ω是由∑和z=0所围空间区域，即：Ω={（x，y，z）|（x，y）∈D，0≤z≤√(a2−x2−y2)}
∴

∫∫

zdxdy＝−

∫∫

D

√(a2−x2−y2)dxdy=−

∫∫

D

(

∫	√(a2−x2−y2) 0

dz)dxdy＝−

∫∫∫

Ω

dxdydz
故B正确．
由于

∬

（x+y+z）dxdy=

∬

xdxdy+

∬

ydxdy+

∬

zdxdy
=

∬

D

xdxdy+

∬

D

ydxdy+

∬

D

zdxdy
前面两个积分的被积函数分别是关于x和y的奇函数，而积分区域D又是关于坐标轴对称的
因此，根据二重积分的对称性，知

∬

xdxdy=

∬

ydxdy=0
∴

∬

（x+y+z）dxdy=

∬

zdxdy
故D命题也正确
因此选：A．