设f(z)在|z|1)内解析,且f(0)=1,f'(0)=2.试计算积分∮(z-1)^2f(z)/z^2dz并由此得出∫上限2π下限0(cosθ/2)^2f(e^iθ)dθ

Question

设f(z)在|z|1)内解析,且f(0)=1,f'(0)=2.试计算积分∮(z-1)^2f(z)/z^2dz
并由此得出∫上限2π下限0(cosθ/2)^2f(e^iθ)dθ

Answer 1

　　利用柯西积分公式,积分等于里面的函数在0处的导数除以2πi

　　也就是说∮(z-1)^2*f(z)/z^2dz = ((z-1)^2*f(z))'/(2πi)=0

　　这个积分可以拆开,变成
　0 = ∮(z-1)^2f(z)/z^2dz
　　= ∮(z^2+1)f(z)/z^2dz - 2∮f(z)/z dz
　　= ∮(z^2+1)f(z)/z^2dz - 2*2πi*f(0)
　　= ∮(z^2+1)f(z)/z^2dz - 4πi

　　所以∮(z^2+1)f(z)/z^2dz = 4πi
　　然后积分路径取单位圆,做变量代换z=e^iθ,上式左侧等于∫(0, 2π)(e^iθ+e^-iθ)f(e^iθ)idθ=4i * ∫(0, 2π)(cosθ/2)f(e^iθ)dθ

　　所以 ∫(0, 2π)(cosθ/2)f(e^iθ)dθ = 1/4i * 4πi = π