证明由方程F（yx，zx）=0所确定的隐函数z=z（x，y）满足关系式x∂z∂x+y∂z∂y-z=0，其中F具有连续的一阶偏导数．

Question

证明由方程F（(y)/(x)，(z)/(x)）=0所确定的隐函数z=z（x，y）满足关系式x(∂z)/(∂x)+y(∂z)/(∂y)-z=0，其中F具有连续的一阶偏导数．

Answer 1

证明：由方程F（(y)/(x)，(z)/(x)）=0两边直接对x和y偏导，得
−(y)/(x2)F′1+((1)/(x)•(∂z)/(∂x)−(z)/(x2))F′2＝0
(1)/(x)F′1+(1)/(x)•(∂z)/(∂y)F′2＝0
∴x(∂z)/(∂x)＝(yF′1+zF′2)/(F′2)，y(∂z)/(∂y)＝(−yF′1)/(F′2)
∴x(∂z)/(∂x)+y(∂z)/(∂y)-z=0
得证．