已知函数f(x)=(sinx2+cosx2)2-2sin2x2．（I）若f(x)=233，求sin2x的值；（II）求函数F（x）=f（x）•f（-x）+f2（x）的最大值与单调递增

Question

已知函数 f(x)=(sin(x)/(2) +cos(x)/(2) ) 2 -2si n 2 (x)/(2) ．
（I）若 f(x)=(23)/(3) ，求sin2x的值；
（II）求函数F（x）=f（x）•f（-x）+f ² （x）的最大值与单调递增区间．

Answer 1

f(x)= (sin(x)/(2) +cos(x)/(2) ) 2 -2si n 2 (x)/(2) =1+2sin (x)/(2) cos (x)/(2) -（1-cosx）
∴f（x）=sinx+cosx
（I）f（x）=sinx+cosx= (23)/(3) ，两边平方得（sinx+cosx） ² = (4)/(3)
∴1+2sinxcosx= (4)/(3) ，可得2sinxcosx= (1)/(3) ，即sin2x= (1)/(3)
（II）∵f（x）•f（-x）=（sinx+cosx）（-sinx+cosx）=cos ² x-sin ² x=cos2x，
f ² （x）=（sinx+cosx） ² =1+2sinxcosx=1+sin2x
∴函数F（x）=f（x）•f（-x）+f ² （x）=1+sin2x+cos2x，
化简，得数F（x）=

2

sin（2x+ (π)/(4) ）+1
当2x+ (π)/(4) = (π)/(2) +2kπ时，即x= (π)/(8) +kπ（k∈Z）时，函数F（x）的最大值为

2

+1
令- (π)/(2) +2kπ＜2x+ (π)/(4) ＜ (π)/(2) +2kπ（k∈Z），得- (3π)/(8) +kπ＜x＜ (π)/(8) +kπ
∴函数F（x）单调递增区间为（- (3π)/(8) +kπ， (π)/(8) +kπ）．