设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有（）A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关B．α1，α2，α3，kβ1+

Question

设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，向量β₁可由α₁，α₂，α₃线性表示，而向量β₂不能由α₁，α₂，α₃线性表示，则对于任意常数k，必有（　　）

A．α₁，α₂，α₃，kβ₁+β₂线性无关
B．α₁，α₂，α₃，kβ₁+β₂线性相关
C．α₁，α₂，α₃，β₁+kβ₂线性无关
D．α₁，α₂，α₃，β₁+kβ₂线性相关

Answer 1

【解法1】
由题设可知，α₁，α₂，α₃，β₂线性无关，且β₁可由α₁，α₂，α₃线性表示，
故存在不全为0的一组常数k₁，k₂，k₃使得：
β₁=k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃，
对于选项A和B：
（α₁，α₂，α₃，kβ₁+β₂）=（α₁，α₂，α₃，kk₁α₁+kk₂α₂+kk₃α₃+β₂）→（α₁，α₂，α₃，β₂）（初等列变换），
因此：
r（α₁，α₂，α₃，kβ₁+β₂）=r（α₁，α₂，α₃，β₂）=4．
故：α₁，α₂，α₃，kβ₁+β₂线性无关，
选项A正确，选项B错误．
对于选项C：
当k=0时，（α₁，α₂，α₃，β₁+kβ₂）=（α₁，α₂，α₃，β₁）为线性相关的，
故选项C错误．
对于选项D：
当k=1时，
（α₁，α₂，α₃，β₁+kβ₂）=（α₁，α₂，α₃，β₁）=（α₁，α₂，α₃，k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃+β₂）→（α₁，α₂，α₃，β₂）
故：r（α₁，α₂，α₃，β₁+β₂）=r（α₁，α₂，α₃，β₂）=4，
从而：α₁，α₂，α₃，β₁+β₂线性无关．
故选项D错误．
综上所述，故选：A．

【解法2】
取k为特殊值，并结合排除法进行判断：
对于选项A和B：
取k=0，
则 （α₁，α₂，α₃，kβ₁+β₂）=（α₁，α₂，α₃，β₂）．
因为α₁，α₂，α₃线性无关，且β₂不能由α₁，α₂，α₃线性表出，
故α₁，α₂，α₃，β₂线性无关，可排除B．
对于选项C：
取k=0，则（α₁，α₂，α₃，β₁+kβ₂）=（α₁，α₂，α₃，β₁），
因为β₁可由α₁，α₂，α₃线性表出，故α₁，α₂，α₃，β₁线性相关，可排除C．
对于选项D：
取k=1，则（α₁，α₂，α₃，β₁+kβ₂）=（α₁，α₂，α₃，β₁+β₂），
因为β₁可由α₁，α₂，α₃线性表出，且β₂不能由α₁，α₂，α₃线性表出，
故α₁，α₂，α₃，β₁+β₂线性无关，可排除D．
故选：A．