若向量a=(cosa,sina),向量b=(cosβ,cosβ),且|k向量a+向量b|=根号3|向量a-k向量b|（k＞0）（1）用k表示数量积向量a乘向量b（2）求向量a乘向量b的最小值,并求此时向量a与向量b的夹角a

Question

若向量a=(cosa,sina),向量b=(cosβ,cosβ),且|k向量a+向量b|=根号3|向量a-k向量b|（k＞0）
（1）用k表示数量积向量a乘向量b
（2）求向量a乘向量b的最小值,并求此时向量a与向量b的夹角a

Answer 1

ab=cosacosβ+sinasinβ=cos(a-β)
由|k向量a+向量b|=根号3|向量a-k向量b|得：
√[(kcoa+cosβ)^2+(ksina+sinβ)^2]=√3*√[(coa-kcosβ)^2+(sina-ksinβ)^2
两边平方,化简得
ab=cos(a-β)=(1+k^2)/(4k)
ab=(1+k^2)/(4k)=1/4*(k+1/k)≥1/4*2√(k*1/k)=1/2,此时有k=1/k=1.则
cos(向量a与向量b的夹角)=ab/(|a||b|)=1/2/(1*1)=1/2,故向量a与向量b的夹角=60°