设两个向量e1,e2,满足向量e1的模=1,向量e2的模=1,向量e,e2满足向量a=k向量e1+向量e2,b=向量e1-k向量e2(1)若向量a的模=根号3向量b的模,求向量e1与向量e2的数量积用k表示的解析式f(k)(2)若向量e1与向量e

Question

设两个向量e1,e2,满足向量e1的模=1,向量e2的模=1,向量e,e2满足向量a=k向量e1+向量e2,b=向量e1-k向量e2
(1)若向量a的模=根号3向量b的模,求向量e1与向量e2的数量积用k表示的解析式f(k) (2)若向量e1与向量e2的夹角为60°,求f(k)及相对应的k值 (3)若向量a与向量b垂直,求实数k

Answer 1

|e1|=1,|e2|=1,a=ke1+e2,b=e1-ke2
1
|a|=sqrt(3)|b|,即：|a|^2=3|b|^2,即：|ke1+e2|^2=3|e1-ke2|^2,即：
(ke1+e2)·(ke1+e2)=3(e1-ke2)·(e1-ke2),即：k^2|e1|^2+|e2|^2+2ke1·e2
=3(|e1|^2+k^2|e2|^2-2ke1·e2),即：k^2+1+2ke1·e2=3(1+k^2-2ke1·e2)
即：4ke1·e2=k^2+1,即：f(k)=e1·e2=(k^2+1)/(4k)
2
=π/3,则：e1·e2=|e1|*|e2|*cos(π/3)=1/2,故：f(k)=(k^2+1)/(4k)=1/2
即：k^2-2k+1=(k-1)^2=0,故：k=1
3
a⊥b,即：a·b=(ke1+e2)·(e1-ke2)=k|e1|^2-k|e2|^2-k^2e1·e2+e1·e2=(1-k^2)e1·e2=0
第3问世独立的?若e1与e2垂直,则：k取任意值
若e1与e2不垂直,则：k=1或-1