设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组A^kα=0有解向量,且A^(k-1)α≠0请问：为什么A^(k+1)α=0,A^(k+2)α=0.A^(k+n)α=0为什么A^(k-2)α≠0,A^(k-3)α≠0.A^(k-n)α≠0

Question

设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组A^kα=0有解向量,且A^(k-1)α≠0
请问：
为什么A^(k+1)α=0,A^(k+2)α=0.A^(k+n)α=0
为什么A^(k-2)α≠0,A^(k-3)α≠0.A^(k-n)α≠0

Answer 1

A^(k+1)α= A(A^kα) = A0 = 0
其余类似 A^(k+i) = A^i A^kα = A^i0 = 0.
若 A^(k-i)α=0,i>=2
则 A^(k-1)α = A^(i-1) A^(k-i)α = A^(i-1) 0 = 0.
与已知矛盾