1、讨论y=cosx√sin²x在x=0处的连续性与可导性问题2、y=x³cos2x求y(20)3、设f∈C[0,a],f∈D[0,a],且f(a)=0试证:任意∑∈C(0,a),st.f(∑)+∑f'(∑)=0

Question

1、讨论y=cosx√sin²x在x=0处的连续性与可导性问题
2、y=x³cos2x 求y(20)
3、设f∈C[0,a],f∈D[0,a],且f(a)=0 试证:任意∑∈C(0,a),st.f(∑)+∑f'(∑)=0

Answer 1

1、f(x)=cosx|sinx|
f(0)=0 limf(x)=0=f(0)连续
f'(0+)=lim(cosxsinx)/x=1
f'(0-)=lim(-cosxsinx)/x=-1
在x=0处不可导
2、利用莱布尼茨公式,求x^3的3阶导数就够
u(x)=x^3 v(x)=cos2x
u'=3x^2 u''=6x u'''=6 u''''=0...u(20)=0
cos(n)2x=2^ncos(2x+nπ/2)
y(20)=2^20*x^3cos(2x+10π)+60*2^19*x^2cos(2x+19π/2)+2280*2^18*xcos(2x+9π)+6840*2^17*cos(2x+17π/2)
3、设F(x)=xf(x),则F(0)=F(a)=0,那么：F∈C[0,a],F∈D[0,a],由罗尔定理：存在∑∈C(0,a),st.F‘(∑)=0,但F’(x)=xf(x)+f'(x）
即：f(∑)+∑f'(∑)=0