过抛物线y^2=8x上一点A(2,4)作两条互相垂直的直线分别交抛物线于B`C两点试问BC是否过定点若是求出定点坐标若不是说明理由

Question

过抛物线y^2=8x上一点A(2,4)作两条互相垂直的直线分别交抛物线于B`C两点试问BC是否过定点
若是求出定点坐标若不是说明理由

Answer 1

容易验证出：点A在抛物线y^2＝8x上.
∵点B、C在抛物线y^2＝8x上,∴可设点B、C的坐标分别是（m^2/8,m）、（n^2/8,n）.
依题意,AB⊥AC,∴（m－4）/（m^2/8－2）＝（n^2/8－2）/（4－n）,
∴（m^2/8－2）（n^2/8－2）＝（m－4）（4－n）,
∴（m^2－16）（n^2－16）＝64（m－4）（4－n）,
∴（m＋4）（m－4）（n＋4）（n－4）＝－64（m－4）（n－4）.
∵B、C都是动点,∴（m－4）（n－4）不恒为0,∴（m＋4）（n＋4）＝－64,
∴mn＋4（m＋n）＋16＝－64,∴mn＝－80－4（m＋n）.······①
很明显,BC的斜率＝（m－n）/（m^2/8－n^2/8）＝8/（m＋n）.
∴BC的方程是：y－m＝［8/（m＋n）］（x－m^2/8）,
∴（m＋n）（y－m）＝8x－m^2,∴（m＋n）y－（m＋n）m＝8x－m^2,
∴（m＋n）y－mn＝8x.······②
由①、②,得：（m＋n）y＋80＋4（m＋n）＝8x,∴（m＋n）（y＋4）＋80＝8x.
显然,将x＝10、y＝－4代入上式是成立的,∴BC过点（10,－4）.