若抛物线y=-3x2-2x+m与x轴分别交于A、B两点（A在B的左边），点P为顶点．（1）若抛物线的顶点P在直线y=3x+73上，求抛物线的解析式；（2）若PA：PB：AB=1：1：2，求抛物线的解析式．

Question

若抛物线y=-3x²-2x+m与x轴分别交于A、B两点（A在B的左边），点P为顶点．
（1）若抛物线的顶点P在直线y=3x+(7)/(3)上，求抛物线的解析式；
（2）若PA：PB：AB=1：1：√(2)，求抛物线的解析式．

Answer 1

（1）在抛物线y=-3x²-2x+m中，a=-3，b=-2，c=m，
根据顶点坐标公式，可得顶点坐标为：P（-(1)/(3)，m+(1)/(3)），
∵点P在直线y=3x+(7)/(3)上，
∴3×(-(1)/(3))+(7)/(3)=m+(1)/(3)，解得：m=1，
∴抛物线的解析式为：y=-3x²-2x+1；
（2）如图所示，
∵PA：PB：AB=1：1：√(3)，
∴△PAB是等腰直角三角形，
∵PM⊥AB，
∴PM=AM=BM，
由抛物线的解析式可知，点P的坐标为（-(1)/(3)，m+(1)/(3)），
由抛物线具有对称性，可设点A（-(1)/(3)-m-(1)/(3)，0），点B（-(1)/(3)+m+(1)/(3)，0），即点A（-(2)/(3)-m，0），点B（m，0），
将点A、点B代入抛物线，可得：

-3×(-(2)/(3)-m)2-2×(-(2)/(3)-m)+m=0

-3m2-2m+m=0

，解得：m=0或m=-(1)/(3)，
当m=-(1)/(3)时，点P（-(1)/(3)，0）在x轴上，不合题意，舍去，
∴m=0，
即抛物线解析式为：y=-3x²-2x．