已知椭圆方程为x²/4+y²=1.设直线x=-1与椭圆相交于A、B两点,P是椭圆上异于A、B的任意一点,直线AP、BP分别交定直线l:x=-4于两点Q、R,求证向量OQ*向量OR为定值

Question

Answer 1

椭圆方程为x2 / 4 +y2＝1,设P（x0,y0）,A（-1,t）,B（-1,-t）,
则有
x0^2+4y0^2-4=0 1/4+t^2=1
在直线AP的方程y−t =t-yo/-1-x0(x+1)中,令x=-4,整理得yQ＝ (4+x0)t−3y0/(1+x0)
同理,yR＝ −3y0−(4+x0)t /(1+x0)
①×②,并将y0^2-1/4x0^2,t2=3/4代入得yQ•yR=9yo^2−(4+x0)^2t^2/(1+x0)2
=−3(1+x0)2 /(1+x0)2 =-3
而OQ •OR ＝(−4,yQ)•(−4,yR)＝16+yQ•yR=13为定值．