已知椭圆E：的左焦点F1（，0），若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F。（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知两点Q（-2，0），M（0，1）及椭

Question

已知椭圆E： 的左焦点F ₁ （ ，0），若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF ₁ 相切于线段DF ₁ 的中点F。
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知两点Q（-2，0），M（0，1）及椭圆G： ，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连结MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？
（Ⅲ）过坐标原点O的直线交椭圆W： 于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB。

Answer 1

已知椭圆E： 的左焦点F ₁ （ ，0），若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF ₁ 相切于线段DF ₁ 的中点F。
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知两点Q（-2，0），M（0，1）及椭圆G： ，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连结MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？
（Ⅲ）过坐标原点O的直线交椭圆W： 于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB。

（Ⅰ）连接 （O为坐标原点， 为右焦点），
由题意知：椭圆的右焦点为 ，
因为FO是 的中位线，且 ，
所以 ，
所以 ，
故 ，
在 中， ，
即 ，
又 ，
解得 ，
所求椭圆 的方程为 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆G： ，
设直线l的方程为y=k（x+2）并代入 ，
整理得： ，
由 得： ，
设 ，
则由中点坐标公式得： ，
①当k=0时，有N（0，0），直线MN显然过椭圆 的两个顶点 ；
②当 时，则 ，直线 的方程为 ，
此时直线 显然不能过椭圆 的两个顶点 ；
若直线 过椭圆 的顶点 ，
则 ，即 ，
所以 ，解得： （舍去）；
若直线 过椭圆 的顶点

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