求适合下列条件的双曲线标准方程1.离心率e=根号2,过点（3,1）2.焦点在x轴上,半焦距为2根号3,且过点P(根号5,-根号6）3.实轴长与虚轴长相等,且一个焦点的坐标为（-6,0）

Question

求适合下列条件的双曲线标准方程
1.离心率e=根号2,过点（3,1）
2.焦点在x轴上,半焦距为2根号3,且过点P(根号5,-根号6）
3.实轴长与虚轴长相等,且一个焦点的坐标为（-6,0）

Answer 1

1.∵离心率e=c/a = √2
∴c=(√2)a
先设双曲线标准方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
过点（3,1)：9/a^2 - 1/b^2 = 1……①
∵c^2 = a^2 + b^2
∴2a^2 = a^2 + b^2
a^2 = b^2 ……②
两式联立,解得：a^2 =8=b^2
双曲线标准方程：x^2/8 - y^2/8 = 1
再设双曲线标准方程：y^2/a^2 - x^2/a^2 =1
过点（3,1)：1/a^2 - 9/a^2 = 1
a^2=-8
a没有实数解,舍去.
∴双曲线标准方程：x^2/8 - y^2/8= 1
2.焦点在x轴上 ,因此设双曲线标准方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 =1
∵半焦距为2根号3 ,即 ：c=2√3
∴c^2 = 12
过点P(√5,-√6）：5/a^2 - 6/b^2 = 1……①
c^2 = a^2 + b^2 = 12……②
两式联立,解得：a^2 =3 ,b^2=9
∴双曲线标准方程：x^2/3 - y^2/9 = 1
3.∵ 实轴长与虚轴长相等
∴a=b
∵一个焦点的坐标为（-6,0）
∴焦点在x轴上,且c=6
因此,设双曲线标准方程：x^2/a^2 - y^2/a^2 =1
∵c^2 = a^2 + b^2
∴36 = a^2 + a^2
36= 2a^2
a^2=18 = b^2
∴双曲线标准方程：x^2/18 - y^2/18 = 1