已知双曲线x^2/a2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右两个顶点分别为A,B1,已知双曲线x^2/a2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右两个顶点分别为A,B,过双曲线右焦点F且与x轴垂直的直线交双曲线于两点P,Q,若∠APB=arctan3/2,求双曲

Question

已知双曲线x^2/a2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右两个顶点分别为A,B
1,已知双曲线x^2/a2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右两个顶点分别为A,B,过双曲线右焦点F且与x轴
垂直的直线交双曲线于两点P,Q,若∠APB=arctan3/2,求双曲线方程
x^2/3-y^2=1
2,已知A(-2,1),y^2=-4x的焦点是F,P是y^2=-4x上的点,为使|PA|+|PF|取最小值,
P点的坐标_____(-1/4,1)_________

Answer 1

1
P的纵坐标为(c,b·√(e^2-1) );
而tan∠APF=(a+c)/(b·√(e^2-1));
tan∠BPF=(c-a)/(b·√(e^2-1));
则tan∠APB=(tan∠APF - tan∠BPF)/(1+tan∠APF ·tan∠BPF)
=(2a·√(e^2-1) )/[b·(e^2-1)+c^2 -a^2]
其中c^2=a^2 + b^2;
e=c/a;
即:(2a·b·√(e^2-1) )/(b^2·e^2)=tan∠APB=3/2;
解得:a^2=3; b^2=1;
即双曲线方程为 x^2/3-y^2=1
2
根据抛物线定义,|PF|等于P到抛物线y^2=-4x的准线l:x=1的距离;设其为Lp;
令F(x,y)=y^2+4x;把A(-2,1)坐标代入其中得到F(-2,1)=-7＜0;这说明点A(-2,1)在抛物线y^2=-4x的内部;则可知当|PA|+|PF|取最小值时,P不在AF线段内.
则由点到直线距离的性质可知,当P在时点A到准线l的垂线段内时,|PA|+|PF|=|PA|+Lp取最小值;
易知此时yP=1;则xP=-1/4;
即P点的坐标就是(-1/4,1)