高等数学题：设映射f:X→Y,A是X的子集,记f(A)的原像为f(^-1)(f(A)).证明：（1）f(^-1)(f(A))高等数学题：设映射f:X→Y,A是X的子集,记f(A)的原像为f(^-1)(f(A)).证明：（1）A是f(^-1)(f(A))子集.(2)当f是

Question

高等数学题： 设映射f:X→Y,A是X的子集,记f(A)的原像为f(^-1)(f(A)).证明：（1）f(^-1)(f(A))
高等数学题： 设映射f:X→Y,A是X的子集,记f(A)的原像为f(^-1)(f(A)).证明：（1）A是f(^-1)(f(A)) 子集. (2)当f是当射时,有f(^-1)(f(A))=A.

Answer 1

证明：（1）任意x∈A,f(x)∈f(A),从而x∈f(^-1)(f(A))（原像定义）,表明A是f(^-1)(f(A)) 子集.
（2）反证法.若f(^-1)(f(A))≠A,则存在y∈f(^-1)(f(A)),且y不属于A.
这样f(y)∈f(A)（原像定义）,进而存在x∈A,f(x)=f(y)（f(A)的定义）,注意到,f是单射,所以x=y,这与y的取法矛盾,此矛盾说明不存在y∈f(^-1)(f(A)),且y不属于A,表明f(^-1)(f(A)) 是A的子集.
综合（1）,得f(^-1)(f(A))=A.