函数证明请证明：任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和常见结论:（1）f(x+a)=f(x),则T=a(a是非零常数).（2）f(x+a)=-f(x),则T=2a(a是非零常数).（3）f(x+a)=+-1

Question

函数证明
请证明：
任一个定义域关于原点对称的函数 一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和
常见结论:
（1）f(x+a)=f(x),则T=a(a是非零常数).
（2）f(x+a)=-f(x),则T=2a(a是非零常数).
（3）f(x+a)=+-1/f(x),则T=2a(a是非零常数).

Answer 1

任意函数f(x),构造两个函数,g(x),h(x)
其中,g(x)=(f(x)-f(-x))/2
h(x)=(f(x)+f(-x))/2
由于g(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-g(-x)
h(-x)=(f(-x)+f(x))/2=h(x)
所以g(x)为奇函数,h(x)为偶函数
g(x)+h(x)=(f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 = f(x).