已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=16，且a1，a2-4，a3-8成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）设bn=Sn2n（an-22n）n，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₂=16，且a₁，a₂-4，a₃-8成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设b_n=(Sn)/(2n)（(an-2)/(2n)）ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵S₂=16，且a₁，a₂-4，a₃-8成等比数列．
∴

2a1+d=16

a1(a1+2d-8)=(a1+d-4)2

，解得a₁=6，d=4．
（II）由（I）可得：a_n=6+4（n-1）=4n+2，S_n=(n(6+4n+2))/(2)=2n²+4n．
∴b_n=(Sn)/(2n)（(an-2)/(2n)）ⁿ=(2n2+4n)/(2n)((4n+2-2)/(2n))n=（n+2）•2ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=3×2+4×2²+…+（n+2）•2ⁿ．
2T_n=3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ+（n+2）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=6+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+2）•2ⁿ⁺¹=4+(2(2n-1))/(2-1)-（n+2）•2ⁿ⁺¹=2-（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹-2．