已知数列{a(n)}的前n项和为S(n),且满足a(1)=1,a(n+1)=S(n)+1(n∈N(+))(1)求{a(n)}的通项公式；(2)设等差数列{b(n)}的前n项和为T(n),若T(3)=30,b(n)≥0(n∈N(+)),且a(1)+b(1),a(2)+b(2),a(3)+b(3)成等比数列,求T(n)；(3)证明

Question

已知数列{a(n)}的前n项和为S(n),且满足a(1)=1,a(n+1)=S(n)+1(n∈N(+))
(1)求{a(n)}的通项公式；
(2)设等差数列{b(n)}的前n项和为T(n),若T(3)=30,b(n)≥0(n∈N(+)),且a(1)+b(1),a(2)+b(2),a(3)+b(3)成等比数列,求T(n)；
(3)证明：T(n)/a(n)≤9(n∈N(+))

Answer 1

(1).a(n+1)=S(n+1)-S(n)=S(n)+1,S(n+1)=2S(n)+1,S(n+1)+1=2(S(n)+1);
S(n)+1是等比数列,S(1)=a(1)=1,首项等于2,公比等于2,S(n)+1=2^n,S(n)=2^n-1;
a(n)=S(n-1)+1=2^(n-1)
(2).T(3)=b(1)+b(2)+b(3)=30,b(1)+d=10;(a(1)+b(1))(a(3)+b(3))=(a(2)+b(2))^2,(b(1)+1)(b(1)+2d+4)=(b(1)+d+2)^2,带入：(b(1)+1)(d+14)=144,得b(1)=8或b(1)=15,如果b(1)=15,d=-5,那么b(5)=-5