已知，AB=5，tan∠ABM=34，点C、D、E为动点，其中点C、D在射线BM上（点C在点D的左侧），点E和点D分别在射线BA的两侧，且AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE．（1）当点C与点B重合时（如图1），联结ED，求ED

Question

已知，AB=5，tan∠ABM=(3)/(4)，点C、D、E为动点，其中点C、D在射线BM上（点C在点D的左侧），点E和点D分别在射线BA的两侧，且AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE．

（1）当点C与点B重合时（如图1），联结ED，求ED的长；
（2）当EA∥BM时（如图2），求四边形AEBD的面积；
（3）联结CE，当△ACE是等腰三角形时，求点B、C间的距离．

Answer 1

（1）如图1中，延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H．

在RT△ABH中，∵∠AHB=90°，
∴sin∠ABH=(AH)/(AB)=(3)/(5)，
∴AH=3，BH=√(AB2-AH2)=4，
∵AB=AD，AH⊥BD，
∴BH=DH=4，
在△ABE 和△ABD中，

AE=AD

∠BAE=∠BAD

AB=AB

，
∴△ABD≌△ABE，
∴BE=BD，∠ABE=∠ABD，
∴BF⊥DE，EF=DF，
∵∠ABH=∠DBF，∠AHB=∠BFD，
∴△ABH∽△DBF，
∴(AH)/(DF)=(AB)/(BD)，
∴DF=(24)/(5)，
∴DE=2DF=(48)/(5)．
（2）如图2中，作AH⊥BD于H．

∵AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE，
∴∠AEB=∠ABE=∠ACD=∠ADC，
∵AE∥BD，
∴∠AEB+∠EBD=180°，
∴∠EBD+∠ADC=180°，
∴EB∥AD，
∵AE∥BD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∴BD=AE=AB=5，AH=3，
∴S_{平行四边形ADBE}=BD•AH=15．
（3）由题意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC．
如图3中，

∵∠ACD=∠AEB（已证），
∴A、C、B、E四点共圆，
∵AE=EC=AB，
∴

EC

=

AB

，
∴

EB

=

AC

，
∴∠AEC=∠ABC，
∴AE∥BD，
由（2）可知四边形ADBE是平行四边形，
∴AE=BD=AB=5，
∵AH=3，BH=4，
∴DH=BD-BH=1，
∵AC=AD，AH⊥CD，
∴CH=HD=1，
∴BC=BD-CD=3．