如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），经过点（1，e），其中e为椭圆的离心率，F1、F2是椭圆的两焦点，M为椭圆短轴端点且△MF1F2为直角三角形．（1）求椭圆C的方

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），经过点（1，e），其中e为椭圆的离心率，F₁、F₂是椭圆的两焦点，M为椭圆短轴端点且△MF₁F₂为直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不经过原点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，第一象限内的点P（1，m）在椭圆上，直线OP平分线段AB，且|AB|=(3√(2))/(2)，求：直线l的方程．

Answer 1

（1）∵椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），经过点（1，e），其中e为椭圆的离心率，
M为椭圆短轴端点且△MF₁F₂为直角直角三角形．
∴

(1)/(a2)+(e2)/(b2)＝1

e＝(c)/(a)

a2＝b2+c2

b＝c

，解得b=c=1，a=√(2)，
∴椭圆C的方程为(x2)/(2)+y2＝1．
（2）由（1）得椭圆C的方程为(x2)/(2)+y2＝1，
∵第一象限内的点P（1，m）在椭圆上，∴P（1，(√(2))/(2)）
由题意，当直线l垂直x轴时，不合题意，
设不过原点的直线l的方程为y=kx+t（t≠0），
交椭圆C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

(x2)/(2)+y2＝1

y＝kx+t

，得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
△=（4kt）²-4（1+2k²）（2t²-2）=16k²-8t²+8＞0，
x1+x2＝−(4kt)/(1+2k2)，y1+y2＝k(x1+x2)+2t＝(2t)/(1+2k2)，
x1x2＝(2t2−2)/(1+2k2)，
直线OP方程为y=(√(2))/(2)x，且OP直线过线段AB中点，
∴(2t)/(1+2k2)＝(√(2))/(2)×(−4kt)/(1+2k2)，解得k=-(√(2))/(2)，
∴|AB|=√(1+k2)•√((x1+x2)2−4x1x2)
=√((1+k2)(4−2t2))
=√((3)/(2)(4−2t2))，
由题意|AB|=(3√(2))/(2)，
解得t=±(√(2))/(2)．
由△＞0，得t²＜2，
∴t=±(√(2))/(2)符合题意，
∴直线l的方程y＝−(√(2))/(2)x−(√(2))/(2)或y=-(√(2))/(2)x+(√(2))/(2)．