已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程．（2）

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆的方程．
（2）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足

OS

+

OT

＝t

OP

（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）由题意得，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径
的圆的方程为（x-c）²+y²=a²，
∴圆心到直线x+y+1=0的距离d=(|c+1|)/(√(2))＝a*，
∵椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
则b=c，a＝√(2)b＝√(2)c，代入*式得b=c=1即a=√(2)b=√(2)，
故所求椭圆方程为(x2)/(2)+y²=1；
（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x-2），设P（x₀，y₀），
将直线方程代入椭圆方程得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
∴△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）=-16k²+8＞0
∴k2＜(1)/(2)，
设S（x₁，y₁），T（x₂，y₂）则x1+x2＝(8k2)/(1+2k2)，x1x2＝(8k2−2)/(1+2k2)，
当k=0时，直线l的方程为y=0，此时t=0，

OS

+

OT

＝t

OP

成立，故t=0符合题意．
当t≠0时
得tx₀=x₁+x₂=(8k2)/(1+2k2)，ty₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4k=(−4k)/(1+2k2)，
∴x0＝(1)/(t)•(8k2)/(1+2k2)，y0＝(1)/(t)•(−4k)/(1+2k2)，
将上式代入椭圆方程得：(32k4)/(t2(1+2k2)2)+(16k2)/(t2(1+2k2)2)＝1，
整理得：t2＝(16k2)/(1+2k2)
由k2＜(1)/(2)知0＜t²＜4，
所以t∈（-2，2）．