知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点．且长轴长为4．（I）求椭圆E的方程：（Ⅱ）若A是椭圆E的左顶点，经过左焦点F的直线1与椭圆E交于C，D

Question

知椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点．且长轴长为4．
（I）求椭圆E的方程：
（Ⅱ）若A是椭圆E的左顶点，经过左焦点F的直线1与椭圆E交于C，D两点，求△OAD与△OAC的面积之差的绝对值的最大值．（0为坐标原点）

Answer 1

（Ⅰ）由题意得2a=4，即a=2，
2a=c，即c=1，
又b²=a²-c²，
∴b²=3
故椭圆E的方程为：(x2)/(4)+(y2)/(3)=1；
（Ⅱ）设△OAD的面积为S₁，△OAC的面积为S₂，
设直线l的方程为x=ky-1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
∴由

x=ky-1

(x2)/(4)+(y2)/(3)=1

，整理得：（3k²+4）y²-6ky-9=0，
∴由韦达定理可知：y₁+y₂=(6k)/(3k2+4)，
∴∴丨S₁-S₂丨=(1)/(2)×2×丨丨y₁丨-丨y₂丨丨=丨y₁+y₂丨=(6丨k丨)/(3k2+4)，
当k=0时，丨S₁-S₂丨=0，
当k≠0时，丨S₁-S₂丨=(6)/(3丨k丨+(4)/(丨k丨))≤(6)/(2√(3丨k丨•(4)/(丨k丨)))=(√(3))/(2)（当且仅当3丨k丨=(4)/(丨k丨)，即k=±(2√(3))/(3)时等号成立）．
∴丨S₁-S₂丨的最大值为

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