已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和长轴长；（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，P为直线x=-3上任意一点，

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和长轴长；
（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，P为直线x=-3上任意一点，过点F作直线PF的垂线交椭圆C于M，N，记d₁，d₂分别为点M和N到直线OP的距离，证明：d₁=d₂．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可知椭圆的焦点在x轴上，2c=4，c=2，√(a2+b2)=2b，
由a²=b²+c²，解得a²=6，b²=2，
∴椭圆C的标准方程为(x2)/(6)+(y2)/(2)=1，椭圆C的长轴长为2√(6)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点F的坐标为（-2，0），设点P的坐标为（-3，m），
则直线PF的斜率kPF=(m-0)/(-3-(-2))=-m，
当m≠0时，直线MN的斜率kMN=(1)/(m)，直线MN的方程是x=my-2，
当m=0时，直线MN的方程是x=-2，也符合x=my-2的形式，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），将直线MN的方程与椭圆C的方程联立，
得

x=my-2

(x2)/(6)+(y2)/(2)=1

，消去x，得（m²+3）y²-4my-2=0，
其判别式△=16m²+8（m²+3）>0，
所以y1+y2=(4m)/(m3+3)，y1y2=(-2)/(m2+3)，x1+x2=m(y1+y2)-4=(-12)/(m2+3)，
设T为线段MN的中点，则点T的坐标为((-6)/(m2+3)，(2m)/(m2+3))，
所以直线OT的斜率kOT=-(m)/(3)，
又直线OP的斜率kOP=-

作业帮用户 2017-10-09

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