△ABC中，AB=4，AC=42，∠BAC=45°，以AC的中线BD为折痕，将△ABD沿BD折起，构成二面角A-BD-C．在面BCD内作CE⊥CD，且CE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面ABD；（Ⅱ）如果二面角A-BD-C的大小为90°，求二面角B-A

Question

△ABC中，AB=4，AC=4√(2)，∠BAC=45°，以AC的中线BD为折痕，将△ABD沿BD折起，构成二面角A-BD-C．在面BCD内作CE⊥CD，且CE=√(2)．
（Ⅰ）求证：CE∥平面ABD；
（Ⅱ）如果二面角A-BD-C的大小为90°，求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

（1）证明：由AB＝4，AC＝4√(2)，∠BAC＝45°，
得BC=4，所以△ABC为等腰直角三角形，
由D为AC的中点得BD⊥AC，以AC的中线BD为折痕翻折后仍有BD⊥CD，
因为CE⊥CD，所以CE∥BD，
又CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，
所以CE∥平面ABD．
（2）如果二面角A-BD-C的大小为90°，由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，因此AD⊥CE，
又CE⊥CD，所以CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC．
由题意AD＝DC＝2√(2)，所以Rt△ADC中，AC=4．
设AC中点为F，因为AB=BC=4，所以BF⊥AC，且BF＝2√(3)，
设AE中点为G，则FG∥CE，由CE⊥AC得FG⊥AC，
所以∠BFG为二面角B-AC-E的平面角，
连结BG，在△BCE中，因为BC＝4，CE＝√(2)，∠BCE＝135°，
所以BE＝√(26)．在Rt△DCE中DE＝√((2√(2))2+(√(2))2)＝√(10)，
于是在Rt△ADE中，AE＝√((2√(2))2+(√(10))2)＝3√(2)．
在△ABE中，BG2＝(1)/(2)AB2+(1)/(2)BE2−(1)/(4)AE2＝(33)/(2)，
所以在△BFG中，cos∠BFG＝(12+(1)/(2)−(33)/(2))/(2•2√(3)•(√(2))/(2))＝−(√(6))/(3)．
因此二面角B-AC-E的余弦值为−(√(6))/(3)．