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如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=a,点E在棱PC上.(1)问点E在何处时,PA∥平面EBD,并加以证明;(2)求二面角C-PA-B的余弦值.

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如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=a,点E在棱PC上.

(1)问点E在何处时,PA∥平面EBD,并加以证明;
(2)求二面角C-PA-B的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(1)当E为PC中点时,PA∥平面EBD
连接AC,EO,且AC∩BD=O
∵四边形ABCD为正方形,
∴O为AC的中点,又E为中点,
∴OE为△ACP的中位线,
∴PA∥EO
又PA⊄面EBD,EO⊂平面EBD
∴PA∥平面EBD
(2)取PA的中点F,连接OF,BF,
PC=PA=a,AC=
2
a,∴CP⊥AP
∵O,F为中点,
∴OF∥CP,即OF⊥PA,
又∵BP=BA,F为PA中点∴BF⊥PA,
所以∠BFO为二面角C-PA-B的平面角.
在正四棱锥P-ABCD中易得:BF=
3
2
a,FO=
1
2
PC=
1
2
a,BO=
1
2
BD=
2
2
a
∴BF2=FO2+BO2
∴△BOF为Rt△,
cos∠BFO=
1
2
a
3
2
a
3
3