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(2008•湖北模拟)如图,直二面角E-AB-C中,四边形ABEF是矩形,AB=2,AF=23,△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形,点P是线段BF上的一个动点.(1)若PB=PF,求异面直线PC与AB所成的角的余弦
题目详情

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(1)若PB=PF,求异面直线PC与AB所成的角的余弦值;
(2)若二面角P-AC-B的大小为300,求证:FB⊥平面PAC.
▼优质解答
答案和解析
(1)分别取BE、AB的中点M、N,
连接PM、MC,PN、NC,则PM=1,MB=
,BC=2
,
∴MC=
,而PN=MB=
,NC=
,
∴PC=2
,…(4分)
∴在△MPC中,由余弦定理可得:cos∠MPC=
=−
故所求PC与AB所成角的余弦值为

连接PM、MC,PN、NC,则PM=1,MB=
3 |
2 |
∴MC=
11 |
3 |
5 |
∴PC=2
2 |
∴在△MPC中,由余弦定理可得:cos∠MPC=
1+8−11 | ||
4
|
| ||
4 |
故所求PC与AB所成角的余弦值为
3 |
2 |
11 |
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(2)连接AP,根据题意可得:∠BAP即为所求二面角的平面角,即∠BAP=30°,进而根据三角形的有关知识可得BF⊥AP,再结合线面垂直可得BF⊥AC,进而根据线面垂直的判定定理证明线面垂直.
- 名师点评
-
- 本题考点:
- 与二面角有关的立体几何综合题;异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的判定.
-
- 考点点评:
- 本题考查利用线面垂直的判定定理证明线面垂直,以及求异面直线所成的角,空间角解决的关键是做角,由图形的结构及题设条件正确作出平面角来,是求角的关键.


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