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(2008•湖北模拟)如图,直二面角E-AB-C中,四边形ABEF是矩形,AB=2,AF=23,△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形,点P是线段BF上的一个动点.(1)若PB=PF,求异面直线PC与AB所成的角的余弦

题目详情
(2008•湖北模拟)如图,直二面角E-AB-C中,四边形ABEF是矩形,AB=2,AF=2
3
,△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形,点P是线段BF上的一个动点.
(1)若PB=PF,求异面直线PC与AB所成的角的余弦值;
(2)若二面角P-AC-B的大小为300,求证:FB⊥平面PAC.
▼优质解答
答案和解析
(1)分别取BE、AB的中点M、N,
连接PM、MC,PN、NC,则PM=1,MB=
3
,BC=2
2

∴MC=
11
,而PN=MB=
3
,NC=
5

∴PC=2
2
,…(4分)
∴在△MPC中,由余弦定理可得:cos∠MPC=
1+8−11
4
2
=−
2
4

故所求PC与AB所成角的余弦值为
作业帮用户 2017-10-25
问题解析
(1)分别取BE、AB的中点M、N,连接PM、MC,PN、NC,则PM=1,MB=
3
,BC=2
2
,可得MC=
11
,又因为PN=MB=
3
,NC=
5
,可得PC=2
2
.进而利用余弦定理求出答案.
(2)连接AP,根据题意可得:∠BAP即为所求二面角的平面角,即∠BAP=30°,进而根据三角形的有关知识可得BF⊥AP,再结合线面垂直可得BF⊥AC,进而根据线面垂直的判定定理证明线面垂直.
名师点评
本题考点:
与二面角有关的立体几何综合题;异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的判定.
考点点评:
本题考查利用线面垂直的判定定理证明线面垂直,以及求异面直线所成的角,空间角解决的关键是做角,由图形的结构及题设条件正确作出平面角来,是求角的关键.
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