如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动。（1）证明：D1E⊥A1D；（2）是否存在点E使得面D1DE⊥面D1EC？若存在，请求出此时点E到面ACD1的距离；

Question

如图，在长方体ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中，AD=AA ₁ =1，AB=2，点E在棱AB上移动。

（1）证明：D ₁ E⊥A ₁ D；
（2）是否存在点E使得面D ₁ DE⊥面D ₁ EC？若存在，请求出此时点E到面ACD ₁ 的距离；若不存在，请说明理由；
（3）AE等于何值时，二面角D ₁ -EC-D的大小为 ？

Answer 1

如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD 1 分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设AE =x， 则 D（0，0，0），A（1，0，1），D（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0） （1）因为 所以 即D 1 E⊥A 1 D。 （2）设平面D 1 EC的一个法向量为n 1 =（a，b，c） 则 令b=1，则c=2，a=2-x，n 1 =（2-x，1，2）， 再设平面D 1 DE的一个法向量为 则 令n=1，则m=-x，n 2 =（-x，1，0） 由面D 1 DE⊥面D 1 EC n 1 ·n 2 =（2-x，1，2）·（-x，1，0）=0得x 2 -2x+1=0 故x=1 故E为AB的中点时，有面D 1 DE⊥面D 1 EC 由于此时点E为AB的中点，故E（1，1，0）， 设平面ACD 1 的一个法向量n 3 =（x，y，z），则 令x=2，则y=1，z=2，即n 3 =（2，1，2）， 故点E到面ACD 1 的距离为 。 （3）由上述解答过程可知面D 1 EC的法向量为n=（2-x，1，2） 由题意， 故 （不合题意，舍去） ∴当 时，二面角D 1 -EC-D的大小为 。