如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E在DC边上，且DE=1，将△ADE沿AE折到△AD'E的位置，使得平面AD'E⊥平面ABCE．（Ⅰ）求证：AE⊥BD'；（Ⅱ）求三棱锥A-BCD'的体积．

Question

如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E在DC边上，且DE=1，将△ADE沿AE折到△AD'E的位置，使得平面AD'E⊥平面ABCE．

（Ⅰ）求证：AE⊥BD'；
（Ⅱ）求三棱锥A-BCD'的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接BD交AE于点O，依题意得(AB)/(DA)=(AD)/(DE)=2，
所以Rt△ABD～Rt△DAE，
所以∠DAE=∠ABD，所以∠AOD=90°，所以AE⊥BD，
即OB⊥AE，OD'⊥AE，又OB∩OD′=O，
OB，OD'⊂平面OBD'．
所以AE⊥平面OBD'．
（Ⅱ）因为平面AD'E⊥平面ABCE，
由（Ⅰ）知，OD'⊥平面ABCE，
所以OD'为三棱锥D'-ABC的高，
在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，DE=1，所以D′O=(2)/(√(5))，
所以V_A-BCD'=V_D'-ABC=(1)/(3)S△ABC•D′O=(1)/(3)×((1)/(2)×4×2)×(2)/(√(5))=(8√(5))/(15)
即三棱锥A-BCD'的体积为(8√(5))/(15)．