已知偶函数f（x）的定义域为（-1，0）∪（0，1），且f（12）=0，当0<x<1时，不等式（1x-x）f′（x）•ln（1-x2）>2f（x）恒成立，那么不等式f（x）<0的解集为（）A.{x|-12<x<0或12

Question

已知偶函数f（x）的定义域为（-1，0）∪（0，1），且f（

(1)/(2)）=0，当0<x<1时，不等式（(1)/(x)-x）f′（x）•ln（1-x²）>2f（x）恒成立，那么不等式f（x）<0的解集为（　　）

A. {x|-

(1)/(2)<x<0或(1)/(2)<x<1}

B. {x|-1<x<-

(1)/(2)或(1)/(2)<x<1}

C. {x|-

(1)/(2)<x<(1)/(2)且x≠0}

D. {x|-1<x<-

(1)/(2)或0<x<(1)/(2)}

Answer 1

因为f（x）是偶函数，它的图象关于纵轴对称，所以不等式f（x）<0的解集也应是对称的，所以D排除；
当0(1)/(x)-x）f′（x）•ln（1-x²）>2f（x）恒成立，
即f′（x）•ln（1-x²）>(2x)/(1-x2)f(x)恒成立，
f′（x）•ln（1-x²）-(2x)/(1-x2)f(x)>0恒成立，
[ln（1-x²）]′=-(2x)/(1-x2)f(x)；
设：g（x）=f（x）•ln（1-x²），
∴[f（x）•ln（1-x²）]′>0恒成立，
g（x）在（0，1）上单调递增，
∵函数y=ln（1-x²）是偶函数，
∴g（x）=f（x）•ln（1-x²）是偶函数，
∴g（x）在（-1，0）上单调递减；
∵f（x）为偶函数，f（-(1)/(2)）=f（(1)/(2)）=0，
∴g（-(1)/(2)）=g（(1)/(2)）=g（0）=0，所以g（x）的图象如下：
∴x∈（(1)/(2)，1）时，g（x）>0，而ln（1-x²）<0，所以f（x）<0成立，
而x∈（0，(1)/(2)）时，g（x）<0，而ln（1-x²）<0，所以f（x）>0成立；
又由函数f（x）的图象对称性可知，
不等式f（x）<0的解集为：{x丨-1<x<-(1)/(2)或(1)/(2)<x<1}．
故答案选：B．