一道高数题!已知函数y=f(x)有二阶连续导数,且曲线有拐点(x.,f(x.)),则lim(u→0)[f(x.+2u)+f(x.-2u)-2f(x)]/u^2等于?可是应该怎么解呢?lim(u→0)[f(x。+2u)+f(x。-2u)-2f(x)]怎么等于0呢?我只能得到2f(x。)-2f(x)啊!

Question

一道高数题!
已知函数y=f(x)有二阶连续导数,且曲线有拐点(x.,f(x.)),则
lim(u→0)[f(x.+2u)+f(x.-2u)-2f(x)]/u^2等于?
可是应该怎么解呢?
lim(u→0)[f(x。+2u)+f(x。-2u)-2f(x)]怎么等于0呢?
我只能得到2f(x。)-2f(x)啊!希望详解

Answer 1

利用罗比塔法则求解.
(x.,f(x.))是拐点说明f'(x.)=0,f''(x.)=0
又
lim(u→0)[f(x.+2u)+f(x.-2u)-2f(x)]=0
lim(u→0)[u^2]=0
根据罗比塔法则分子分母同时对u求导
lim(u→0)[f(x.+2u)+f(x.-2u)-2f(x)]/u^2
=lim(u→0)[2f’(x.+2u)-2f’(x.-2u)]/2u
=lim(u→0)[f’(x.+2u)-f’(x.-2u)]/u
又
lim(u→0)[f’(x.+2u)-f’(x.-2u)]
=f'(x.)-f'(x.)
=0
lim(u→0)[u]=0
再次分子分母对u求导
lim(u→0)[f’(x.+2u)-f’(x.-2u)]/u
=lim(u→0)[2f’'(x.+2u)+2f’'(x.-2u)]/1
=4f’'(x.)
=0