证若f是[a,正无穷)上的严格单调函数,且∫a到正无穷分f(x)dx收敛,则x趋向于正无穷是时f(x)趋向于0

Question

证 若f是[a,正无穷)上的严格单调函数,且∫a到正无穷分f(x)dx收敛,则x趋向于正无穷是时f(x)趋向于0

Answer 1

首先f(x）必须是有界的,因为假如f(x)是无界的,那积分也就无界,肯定不收敛
因为f(x)有界,而且又单调,所以f(x)必然收敛.假设当x趋于无穷时,f(x)收敛于b
用反证法,假设b不等于0,那么一定可以找到一个点x0,使得x>x0时,|f(x)|>|b/2|恒成立.
这样f(x)从a到正无穷的积分可以分成两部分,一部分是从a到x0的定积分,是有限的,另一部分是从x0到正无穷的积分,由于x>x0时,|f(x)|>|b/2|,所以这部分积分肯定是发散的,所以f(x)从a到正无穷的积分必然发散,不合题意.
所以用反证法证明了b必须等于0