高数题目设f(x)在[a,b]上可导,又f'(x)+[f(x)]^2-∫(a到x)f(t)dt=0,且∫(a到b)f(t)dt=0,则∫(a到x)f(t)dt在(a,b)内为什么恒为0.该题解答中令F(x)=∫(a到x)f(t)dt,则F(a)=F(b)=0,所给条件变为F''(x)+[F'(x)]^2-F(x)=0若F(x)在(

Question

高数题目
设f(x)在[a,b]上可导,又f'(x)+[f(x)]^2-∫(a到x)f(t)dt=0,且∫(a到b)f(t)dt=0,则∫(a到x)f(t)dt在(a,b)内为什么恒为0.
该题解答中令F(x)=∫(a到x)f(t)dt,则F(a)=F(b)=0,所给条件变为F''(x)+[F'(x)]^2-F(x)=0
若F(x)在(a,b)不恒为0,则F(x)在(a,b)取正的最大值或负的最小值.设F(m)=maxF(x)＞0,则m∈(a,b),F'(m)=0,F''(m)≤0
这里为什么F''(m)≤0?

Answer 1

因为F(x)在m处取得正的最大值,则在m处的小邻域内,函数图象是向上的凹函数的形状,所以F''(m)≤0