椭圆抛物线综合问题设椭圆x~2+y~2/b~2=1和一开口向右.顶点在原点的抛物线有公共点,若p为该抛物线与椭圆的一个焦点,且p点的横坐标为1/2,求此椭圆的离心率

Question

椭圆抛物线综合问题
设椭圆x~2+y~2/b~2=1和一开口向右.顶点在原点的抛物线有公共点,若p为该抛物线与椭圆的一个焦点,且p点的横坐标为1/2,求此椭圆的离心率

Answer 1

设抛物线是y^2=2mx
则抛物线焦点(m/2,0)
则椭圆中c=m/2
a=1,b^2=a^2-c^2=1-m^2/4
求交点
x^2+2mx/b^2=1
P横坐标是1/2
则1/2是方程x^2+2mx/b^2=1的根
1/4+m/b^2=1
m/(1-m^2/4)=3/4
3-3m^2/4=4m
3m^2+16m-12=0
m=2/3,m=-6
b^2=1-m^2/4>0
所以m=2/3
c=m/2=1/3
a=1
e=c/a=1/3