早教吧 育儿知识 作业答案 考试题库 百科 知识分享

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点与抛物线y2=4x的焦点相同,且C的离心率e=12,又A,B为椭圆的左右顶点,M为椭圆上任一点(异于A,B).(1)求椭圆的方程;(2)若直线MA交直线x=4于

题目详情
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点与抛物线y2=4x的焦点相同,且C的离心率e=
1
2
,又A,B为椭圆的左右顶点,M为椭圆上任一点(异于A,B).
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线MA交直线x=4于点P,过点P作直线MB的垂线交x轴于点Q,求点Q的坐标;
(3)在(2)条件下,求点P在直线MB上射影的轨迹方程.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意知,椭圆右焦点与抛物线y2=4x的焦点相同,
∴c=1,
∵椭圆的离心率为e=
1
2
,∴a=2,
∴b2=a2-c2=3
∴椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1          (3分)
(2)设M(x,y),P(4,z),
MN
PD
=
AN
AD
,故z=
6y
x+2

设Q(x0,0),由PQ⊥MB得:
6y
x+2
4−x0
×
y
x−2
=-1,
又M在椭圆上,故x2=4-
4
3
y2,化简得x0=-
1
2
,即Q(-
1
2
,0)(8分)
(3)点P在直线MB上射影即PQ与MB的交点H,由QH⊥HB得△HQB为直角三角形,
设E为QB中点,则|HE|=
1
2
|QB|=
5
4
,E(
3
4
,0),
因此H点的轨迹方程为(x−
3
4
)2+y2=
25
16
(y≠0)(13分)