（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，P为椭圆与抛物线的一个公共点，且|PF|=2，倾斜角为的直线过点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为

Question

（本小题满分14分）已知椭圆 的一个焦点 与抛物线 的焦点重合，P为椭圆与抛物线的一个公共点，且|PF|=2，倾斜角为 的直线 过点 .
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的另一个焦点为 ，问抛物线 上是否存在一点 ，使得 与 关于直线 对称，若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

（1） ；
（2）抛物线 上存在一点 ，使得 与 关于直线 对称.

试题分析：(1)设P(x,y),因为|PF|=2,根据焦半径公式可求出x=1,代入抛物线方程可求点P的坐标.
再根据椭圆的定义： ,求出a,已知c=1,从而可求出 ,故可得椭圆的方程.
（2）先求出直线 的方程为 ，即 ,再求出椭圆的另一个焦点为 ,可根据点关于直线对称点的求法求出点F ₁ 关于直线l的对称点M的坐标，然后代入抛物线方程判定点M是否在抛物线上，从而得到结论.
（1）抛物线 的焦点为 ，………………………1分
设P(x,y)则|PF|= ，故x=1，y= …………………3分
∴    ，      …………………5分
∴     …………………6分
∴  该椭圆的方程为      …………………7分
（2）∵ 倾斜角为 的直线 过点 ，
∴ 直线 的方程为 ，即 ，…………………8分
由（1）知椭圆的另一个焦点为 ，设 与 关于直线 对称，………9分
则得                     …………………10分
解得 ，即                     …………………11分
又 满足 ，故点

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