已知二阶矩阵A有特征值λ1=1及对应的一个特征向量e1=11和特征值λ2=2及对应的一个特征向量e2=10，试求矩阵A及其逆矩

Question

已知二阶矩阵A有特征值λ ₁ =1及对应的一个特征向量 e 1 =

1

1

和特征值λ ₂ =2及对应的一个特征向量 e 2 =

1

0

，试求矩阵A及其逆矩阵A ^-1 ．

Answer 1

设矩阵 A=

ab

cd

，这里a，b，c，d∈R，
因为

1

1

是矩阵A的属于λ ₁ =1的特征向量，则有

1-a-b

-c1-d

1

1

=

0

0

①，
又因为

1

0

是矩阵A的属于λ ₂ =2的特征向量，则有

2-a-b

-c1-d

1

0

=

0

0

②，
根据①②，则有

1-a-b=0   

-c+1-d=0   

2-a=0   

-c=0   

从而a=2，b=-1，c=0，d=1，因此 A=

2-1

01

，（6分）
根据题意

1

1

 ，  

1

0

分别是矩阵A ^-1 属于特征值1， (1)/(2) 的特征向量，
不妨设 A -1 =

ef

gh

，则有

ef

gh

2-1

01

=

-2e-e+f

2g-g+h

=

10

01

，
则得

1-e-f=0 

-g+1-h=0 

(1)/(2) -e=0 

-g=0 

从而 e=(1)/(2)  ，f=(1)/(2)  ，g=0 ，h=1 ，因此 A -1 =

(1)/(2) (1)/(2)

01

．（10分）