线性代数题目:设三阶矩阵A的特征值为λ1=2λ2=-2λ3=1对应的特征值向量依次为P1=（011）P2=(111)设三阶矩阵A的特征值为λ1=2λ2=-2λ3=1对应的特征值向量依次为P1=（011）P2=(111)P3=(110)求A

Question

线性代数题目:设三阶矩阵A的特征值为λ1=2 λ2=-2 λ3=1 对应的特征值向量依次为P1=（0 1 1）P2=(1 1 1)
设三阶矩阵A的特征值为λ1=2 λ2=-2 λ3=1 对应的特征值向量依次为P1=（0 1 1）P2=(1 1 1)P3=(1 1 0)求A

Answer 1

【解法一】
由AP1=λ1P1，AP2=λ2P2，AP3=λ3P3，知P1，P2，P3是矩阵A的不同特征值的特征向量，它们线性无关。利用分块矩阵，有
A(P1，P2，P3)=(λ1P1，λ2P2，λ3P3），因为矩阵（P1，P2，P3）可逆，故
A=(λ1P1，λ2P2，λ3P3）(P1，P2，P3)-1
根据矩阵乘法运算，得A为
-2 3 -3
-4 5 -3
-4 4 -2
【解法二】
因为矩阵A有3个不同的特征值，所以A可相似对角化，有
Q-1AQ = B，Q=（p1，p2，p3），B为
2 0 0
0 -2 0
0 0 1
那么A=QBQ-1=... 下略。
【评注】
反求矩阵A的过程，解法一是通过特征值，特征向量与A的关系求解。解法二是通过相似对角阵来求解。
newmanhero 2015年4月18日15:34:37
希望对你有所帮助，望采纳。