设A为n阶对陈阵,P为n阶可逆阵,x是A的对应特征值r的特征向量,则(P-1AP)T对应r的特征向量为?

Question

设A为n阶对陈阵,P为n阶可逆阵,x是A的对应特征值r的特征向量,则(P-1AP)T对应r的特征向量为?

Answer 1

因为A是对称矩阵, 所以 A^T=A
所以 (P^-1AP)^T = P^TA^T(P^-1)^T = P^TA(P^T)^-1
由 Ax=λx
所以 P^TAx=λP^Tx
所以 P^TA(P^T)^-1 P^Tx=λP^Tx
即有 (P^-1AP)^T P^Tx=λP^Tx
所以 (P^-1AP)^T对应λ的特征向量为 P^Tx