函数在某点可导可以推出邻域内也可导吗?1.函数在某点可导,可不可以推出它的邻域内可导?如果是的话,课本上的例题只给出“f(x)在x=a处可导”的条件,算f'(a)只能用定义而不能用洛必达法则,

Question

函数在某点可导可以推出邻域内也可导吗?
1.函数在某点可导,可不可以推出它的邻域内可导?如果是的话,课本上的例题只给出“f(x)在x=a处可导” 的条件,算f '(a)只能用定义而不能用洛必达法则,是为什么?
2.函数f(x)在（a,b）内处处可导,那么f '(x)一定是连续的吗?书上说不一定,但是我可不可以这样理解,在某区间内可导的函数一般是圆滑的曲线,那么导函数应该是逐渐增大的,而不会突然跳跃的变化,所以应该是连续的.但书上我不一定连续,请指教

Answer 1

　　（1）函数在某点可导,不可以推出它的邻域内可导.否则将可以推出其在某区间上甚至在R上可导,这可是一个 "伟大的" 发现.计算 f'(a) 跟洛必达法则有啥关系?没听懂.
　　（2）函数f(x)在（a,b）内处处可导,但f'(x)未必在（a,b）内处处连续.例如函数
　f(x) = (x^2)sin(1/x),当x不为0时,
　= 0,当x=0时,
其导函数在R上处处存在:
　　f‘(x) = 2xsin(1/x) - cos (1/x),当x不为0时,
= 0,当x=0时,
但其在0点不连续.