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设函数f（x）可导，且f（0）=0，F（x）=∫x0tn-1f（xn-tn）dt，求limx→0F(x)x2n．
题目详情
设函数f（x）可导，且f（0）=0，F（x）=
tn-1f（xn-tn）dt，求
．
| ∫ | x 0 |
| lim |
| x→0 |
| F(x) |
| x2n |
▼优质解答
答案和解析
∵F（x）=
tn−1f(xn−tn)dt=−
f(xn−tn)d(xn−tn)，
令：u=xn-tn，则：
F(x)＝−
f(u)du＝
f(u)du，
∴
=
=
=
=
=
．
∵F（x）=
| ∫ | x 0 |
| 1 |
| n |
| ∫ | x 0 |
令：u=xn-tn，则：
F(x)＝−
| 1 |
| n |
| ∫ | 0 xn |
| 1 |
| n |
| ∫ | xn 0 |
∴
| lim |
| x→0 |
| F(x) |
| x2n |
| lim |
| x→0 |
| ||||
| x2n |
=
| 1 |
| n |
| lim |
| x→0 |
| nxn−1f(xn) |
| 2nx2n−1 |
=
| 1 |
| 2n |
| lim |
| x→0 |
| f(xn) |
| xn |
=
| 1 |
| 2n |
| lim |
| x→0 |
| f(xn)−f(0) |
| xn |
=
| f′(0) |
| 2n |
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