已知函数y=f(x)在t=0处可导,且具有性质f(t+s)=(f(t)+f(s))/(1-f(t)f(s)),试求出此函数.在这里应该是已知函数y=f(t)在t=0处可导，且具有性质f(t+s)=(f(t)+f(s))/(1-f(t)f(s)),试求出此函数。

Question

已知函数y=f(x)在t=0处可导,且具有性质f(t+s)=(f(t)+f(s))/(1-f(t)f(s)),试求出此函数.
在这里应该是已知函数y=f(t)在t=0处可导，且具有性质f(t+s)=(f(t)+f(s))/(1-f(t)f(s)),试求出此函数。

Answer 1

由 f(t+s)=(f(t)+f(s))/(1-f(t)f(s)),令s=t=0得：
f(0) = 2f(0)/(1-f(0)²),即 -f(0)(f(0)²+1)/(1-f(0)²) = 0
∴ f(0) = 0
再由f(t+s)=(f(t)+f(s))/(1-f(t)f(s))得：
f(t+s) - f(t+s)f(t)f(s) = f(t)+f(s)
(f(t+s) - f(t)) / s = (f(t+s)f(t)f(s) + f(s)) / s
= (f(t+s)f(t)+1) * f(s)/s
由已知,y=f(x)在t=0处可导,设 f'(0) = k,(k∈R)
则 s->0时,lim (f(s)/s) = f'(0) = k
因此 s->0时,lim((f(t+s) - f(t)) / s) = lim ((f(t+s)f(t)+1) * f(s)/s) = (f(t)²+1)*k
即对于定义域内任意值t,有f(x)在x=t处可导,且 f'(t) = k*(1+f(t)²)
分离变量得：d(f(t))/(1+f(t)²) = k*dt
两边积分得：arctan(f(t)) = k*t + C
以t=0代入上式,利用f(0)=0 得：C = arctan(f(0)) = 0
因此 arctan(f(t)) = k*t
即 f(t) = tan(k*t),(k∈R)