已知奇数f(x)的定义域为(-∞,0)U(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)上是减函数,f(1)=0,函数g(x)=-x²+mx+1-2mx∈[0,1](1)证明：函数f(x)在(-∞,0)上是减函数(2)解关于x的不等式f(x)＞0(3)当x∈[0,1]时,求使得g(x)＜0且f[g

Question

已知奇数f(x)的定义域为(-∞,0)U(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)上是减函数,f(1)=0,函数g(x)=-x²+mx+1-2m x∈[0,1]
(1)证明：函数f(x)在(-∞,0)上是减函数
(2)解关于x的不等式f(x)＞0
(3)当x∈[0,1]时,求使得g(x)＜0且f[g(x)]＞0恒成立的m的取值范围

Answer 1

（1）、令x1＞x2,且x1,x2都包含于（0,+∞）,因为f（x）为奇函数,所以f（x）=-f（-x）,x包含于（0,+∞）,则-x包含于（-∞,0）,又f（x）是减函数,所以f（x1）=-f（-x1）＜f（x2）=-f（-x2）,即f（-x1）＞f（-x2）,又因为-x1＜-x2,-x1,-x2都包含于（-∞,0）,所以f（x）在（-∞,0）上是减函数
（2）、因为f（x）在（-∞,0）和（0,+∞）是减函数,由f（1）=0,可知f（x）＞0的解为x＜1,x≠0；又f（x）为奇函数,所以f（-1）=0,可知,f（x）＞0的解为x＜-1,综上可知f（x）＞0的解为（-∞,-1）,（0,1）
（3）、由（2）可得f[g（x）]＞0成立,则要求g（x）＜-1或0＜g（x）＜1,x包含于（0,1）；又要求g（x）＜0成立,即要求g（x）＜-1恒成立,即-x²+mx+1-2m＜-1恒成立时m的取值,即m＞（x²-2）/（x-2）,x包含于【0,1】恒成立,即（x²-2）/（x-2）的最大值,可求得其最大值为2根号2-4,即m＞2根号2-4为所求取值范围.