已知函数f（x）=2sinπ3sin（x+π12）cos（x+π12）-sinπ6cos（2x+π6）．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）若函数f（x）（x＞0）的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所

Question

已知函数f（x）=2sin(π)/(3)sin（x+(π)/(12)）cos（x+(π)/(12)）-sin(π)/(6)cos（2x+(π)/(6)）．
（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；
（2）若函数f（x）（x＞0）的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得的图象与直线y=(11)/(13)交点的横坐标由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，求数列{x_n}的前200项的和．

Answer 1

f（x）=(√(3))/(2)sin（2x+(π)/(6)）-(1)/(2)cos（2x+(π)/(6)）=sin（2x+(π)/(6)-(π)/(6)）=sin2x，
（1）T=(2π)/(2)=π，
当2kπ+(π)/(2)≤2x≤2kπ+(3π)/(2)时，kπ+(π)/(4)≤x≤kπ+(3π)/(4)，k∈Z，
∴函数的单调减区间为[kπ+(π)/(4)，kπ+(3π)/(4)]（k∈Z）．
（2）函数f（x）（x＞0）的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得函数图象的解析式为y=sinx，
由正弦函数的对称性可知，(x1+x2)/(2)=(π)/(2)，(x3+x4)/(2)=2π+(π)/(2)，…(x199+x200)/(2)=198π+(π)/(2)，
∴x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀=π+5π+9π+…+（4×100-3）π=((π+397π)×100)/(2)=19900π．