已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）-f（y）|<12|x-y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|<m恒成立，则m的最小值为（）

Question

已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：
①f（0）=f（1）=0；
②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）-f（y）|<

(1)/(2)|x-y|．
若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|<m恒成立，则m的最小值为（　　）

A.

(1)/(2)

B.

(1)/(4)

C.

(1)/(2π)

D.

(1)/(8)

Answer 1

依题意，定义在[0，1]上的函数y=f（x）的斜率|k|<(1)/(2)，
依题意可设k>0，构造函数f（x）=

kx，0≤x≤(1)/(2)

k-kx，(1)/(2)≤x≤1

（0<k<(1)/(2)），满足f（0）=f（1）=0，|f（x）-f（y）|<(1)/(2)|x-y|．
当x∈[0，(1)/(2)]，且y∈[0，(1)/(2)]时，|f（x）-f（y）|=|kx-ky|=k|x-y|≤k|(1)/(2)-0|=k×(1)/(2)<(1)/(4)；
当x∈[0，(1)/(2)]，且y∈[(1)/(2)，1]，|f（x）-f（y）|=|kx-（k-ky）|=|k（x+y）-k|≤|k（1+(1)/(2)）-k|=(k)/(2)<(1)/(4)；
当y∈[0，(1)/(2)]，且x∈[(1)/(2)，1]时，同理可得，|f（x）-f（y）|<(1)/(4)；
当x∈[(1)/(2)，1]，且y∈[(1)/(2)，1]时，|f（x）-f（y）|=|（k-kx）-（k-ky）|=k|x-y|≤k×（1-(1)/(2)）=(k)/(2)<(1)/(4)；
综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|<(1)/(4)，
∵对所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|<m恒成立，
∴m≥(1)/(4)，即m的最小值为(1)/(4)．
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