函数f(x)在(0,+∞)连续,f(1)=5/2,对所有x,t∈(0,+∞),满足∫(1,x)f(u)du=t∫(1,x)f(u)du+x∫(1,t)f(u)du设函数f(x)在(0,+∞)连续,f(1)=5/2,且对所有x,t∈(0,+∞),满足∫(1,x)f(u)du=t∫(1,x)f(u)du+x∫(1,t)f(u)du,求f(x).我对右

Question

函数f(x)在(0,+∞)连续,f(1)=5/2,对所有x,t∈(0,+∞),满足∫(1,x)f(u)du=t∫(1,x)f(u)du+x∫(1,t)f(u)du
设函数f(x)在(0,+∞)连续,f(1)=5/2,且对所有x,t∈(0,+∞),满足∫(1,x)f(u)du=t∫(1,x)f(u)du+x∫(1,t)f(u)du,求f(x).
我对右边方程x求导,但是对最后一块∫(1,t)f(u)du不知道怎么算了,它是常数,但是答案没有这一块,算出来了,求指导,

Answer 1

题目是不是该是这个：∫(1,xt)f(u)du=t∫(1,x)f(u)du+x∫(1,t)f(u)du才对?
先对x求导得到：tf(xt)＝tf(x)+∫(1,t)f(u)du
然后因为f(1)=5/2,故令x=1带入得到tf(t)=(5/2)t+∫(1,t)f(u)du
再对t求导得到f(t)+tf'(t)=5/2+f(t)
得到f'(t)=5/2t
然后积分得到f(t)=(5/2)lnt+C（因为t>0）
带入f(1)=5/2得到C=5/2
所以：f(x)=(5/2)(1+lnx)
因为我读大学时做过这道题