设f（x）=13x3+mx2+nx．（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2处取得最小值-5，求f（x）的解析式；（2）如果m+n＜10（m，n∈N+），f（x）在单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．（注：区间

Question

设f（x）=(1)/(3)x³+mx²+nx．
（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2处取得最小值-5，求f（x）的解析式；
（2）如果m+n＜10（m，n∈N⁺），f（x）在单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．（注：区间（a，b）的长度为b-a）

Answer 1

（1）由题意得g（x）=f′（x）-2x-3=x2+2mx+n-2x-3=（x+m-1）2+（n-3）-（m-1）2，又g（x） 在x=-2处取得最小值-5，所以m−1＝2(m−3)2+(n−3)−(m−1)2＝−5，解得m=3，n=2．所以f（x）=13x3+3x2+2x． （...