已知f(n)＝1+12+13+…+1n，n∈n*，求证：（1）当m＜n（m∈N*）时，f(n)−f(m)＞n−mn；（2）当n＞1时，f(2n)＞n+22；（3）对于任意给定的正数M，总能找到一个正整数N0，使得当n＞N0时，有f（n）＞M．

Question

已知f(n)＝1+(1)/(2)+(1)/(3)+…+(1)/(n)，n∈n*，求证：
（1）当m＜n（m∈N^*）时，f(n)−f(m)＞(n−m)/(n)；
（2）当n＞1时，f(2n)＞(n+2)/(2)；
（3）对于任意给定的正数M，总能找到一个正整数N₀，使得当n＞N₀时，有f（n）＞M．

Answer 1

证明：（1）当m＜n时，f（n）-f（m）=1m+1+1m+2+…+1n≥1n+1n+…+1n=n−mn．（2）当n＞1时，f(2n)＝1+12+13+…+12n＝1+12+( 13+14 )+…+( 12n−1+1+12n−1+2+…+12n )＞1+12+24+…+2n−12n＝1+n...