x趋于0时,ln(1+x)-(ax∧2+bx)是x∧2的高阶无穷小,求ab的值

Question

x趋于0时,ln(1+x)-(ax∧2+bx)是x∧2的高阶无穷小,求ab的值

Answer 1

lim(x->0) [ln(1+x)-(ax+bx²)]/x² = 2
lim [ln(1+x)-ax-bx²)]/x² = 2
lim [1/(1+x)-a-2bx]/(2x) = 2,运用洛必达法则
lim [-1/(1+x)²-2b] = 4,运用洛必达法则
-1-2b=4
-2b=5
b=-5/2
lim [ln(1+x)-ax+5/2*x²]/x² = 2
lim [1/(1+x)-a+5/2*2x]/(2x) = 2,洛必达法则
lim [1-a-ax+5x(1+x)]/[x(1+x)] = 4
lim [(1-a)+5x(1+x)-ax]/[x(1+x)] = 4
lim (1-a)/[x(1+x)]+(5-a+5x)/(x+1) = 4
lim (1-a)/[x(1+x)]+5-a = 4
要令这个极限有意义,即lim (1-a)/[x(1+x)]=0,1-a=0即a=1
或者5-a=4即a=1