已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的公比q；（Ⅱ）证明：ak，ak+6，ak+3（k∈N*）成等差数列．

Question

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的公比q；
（Ⅱ）证明：a_k，a_k+6，a_k+3（k∈N^*）成等差数列．

Answer 1

（Ⅰ）由S₃，S₉，S₆成等差数列，可得2 S₉=S₃+S₆．
当q=1时，即得18a₁=3a₁+6a₁，解得a₁=0，不成立．…（3分）
当q≠1时，即得(2a1(1−q9))/(1−q)＝(a1(1−q3))/(1−q)+(a1(1−q6))/(1−q)，
整理得：2q⁶-q³-1=0，即2（q³）²-q³-1=0，
解得：q=1（舍去），或q＝−(34)/(2)． …（7分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知q³+1=2q⁶，
∴ak+ak+3＝a1qk−1+a1qk+2＝a1qk−1(1+q3)=a1qk−1•2q6＝2a1qk+5，
∵2ak+6＝2a1qk+5，
∴a_k+a_k+3=2a_k+6，即a_k，a_k+6，a_k+3（k∈N*）成等差数列．…（12分）